Stellenwertsysteme

Dezimalsystem (10er-System)

Normalerweise rechnen wir im Dezimalsystem und verwenden dabei die zehn arabischen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Stelle ab. Im Dezimalsystem hat die

• 1. Stelle von rechts den Stellenwert 10⁰ = 1 (Einer).
• 2. Stelle von rechts den Stellenwert 10¹ = 10 (Zehner).
• 3. Stelle von rechts den Stellenwert 10² = 100 (Hunderter).
• 4. Stelle von rechts den Stellenwert 10³ = 1000 (Tausender).
• ...
• n. Stelle von rechts den Stellenwert 10^n-1.

Die Basis 10 ergibt sich durch die Anzahl der verwendeten Ziffern.

Beispiel:
Die Dezimalzahl 234 kann auch wie folgt geschrieben werden:
2 * 10² + 3 * 10¹ + 4 * 10⁰ = 2 * 100 + 3 * 10 + 4 * 1 = 234

Binärsystem (2er-System)

Das System zur Basis 2 (Binärsystem) kommt nur mit den beiden Ziffern 0 und 1 aus.
Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Stelle ab. Im Binärsystem hat die

• 1. Stelle von rechts den Stellenwert 2⁰ = 1.
• 2. Stelle von rechts den Stellenwert 2¹ = 2.
• 3. Stelle von rechts den Stellenwert 2² = 4.
• 4. Stelle von rechts den Stellenwert 2³ = 8.
• ...
• n. Stelle von rechts den Stellenwert 2^n-1.

Die Basis 2 ergibt sich durch die Anzahl der verwendeten Ziffern.

Beispiel einer Umwandlung nach der Multiplikationsmethode:
Die Binärzahl 10011111₍₂₎ entspricht der Dezimalzahl
1 * 2⁷ + 0 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 1 * 2³ + 1 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 159
Die tiefergestellte 2 in Klammern bedeutet, dass die vorgestellte Zahl eine Zahl im 2er-System ist.

Jede einzelne Stelle nennt sich im Binärsystem Bit (Binary Digit).
Acht Bits hintereinander aufgeschrieben sind ein Byte. Die Binärzahl 10011111₍₂₎ ist also ein Byte.

Hexadezimalsystem (16er-System)

Das System zur Basis 16 (Hexadezimalsystem) benötigt 16 Ziffern:

Dezimal	0	1	2	...	9	10	11	12	13	14	15
Hexadezimal	0	1	2	...	9	A	B	C	D	E	F

Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Stelle ab. Im Hexadezimalsystem hat die

• 1. Stelle von rechts den Stellenwert 16⁰ = 1.
• 2. Stelle von rechts den Stellenwert 16¹ = 16.
• 3. Stelle von rechts den Stellenwert 16² = 256.
• 4. Stelle von rechts den Stellenwert 16³ = 4096.
• ...
• n. Stelle von rechts den Stellenwert 16^n-1.

Die Basis 16 ergibt sich durch die Anzahl der verwendeten Ziffern.

Beispiel einer Umwandlung nach der Multiplikationsmethode:
Die Hexadezimalzahl 3FA₍₁₆₎ entspricht der Dezimalzahl
3 * 16² + 15 * 16¹ + 10 * 16⁰ = 1018

Die tiefergestellte 16 in Klammern bedeutet, dass die vorgestellte Zahl eine Zahl im 16er-System ist.

Multiplikationsmethode

Für die Umrechnung von einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalsystem brauchst du die sogenannte Multiplikationsmethode, die oben schon für jedes Zahlensystem erläutert wurde.

Zahl: 
Zahlensystem: 
Wandele die Zahl vom gewählten Zahlensystem ins 10er-System um...



Aufgabe 1)
Wandle folgende Binärzahlen auf einem Zettel in Dezimalzahlen um und kontrolliere die Umwandlung.
a) 01100110, b) 10011, c) 10, d) 11010111001

Aufgabe 2)
Wandle folgende Hexadezimalzahlen auf einem Zettel in Dezimalzahlen um und kontrolliere dann die Umwandlung.
a) 4C2A, b) FF, c) ABBA, d) 1234

Aufgabe 3)
Wandle folgende Oktalzahlen auf einem Zettel in Dezimalzahlen um und kontrolliere dann die Umwandlung.
a) 123, b) 77, c) 7012, d) 312

Divisionsmethode

Für die Umrechnung vom Dezimalsystem in ein beliebiges Zahlensystem brauchst du die sogenannte Divisionsmethode, die die Modulo-Operation verwendet.

Das Vorgehen wird in diesem Video vorgeführt:


Aufgabe 4)
Wandle folgende Dezimalzahlen auf einem Zettel in Binär-, Oktal- und Hexadezimalzahlen um und kontrolliere die Umwandlung.
a) 255, b) 123, c) 15, d) 1110, e) 9353

Aufgabe 5)
Wieso kann mit dem 36er-System aus jedem Text eindeutig genau eine Zahl ermittelt werden?